Question

已知，圓C：x²+y²-8y+12=0，直線l：ax+y+2a=0．
（1）當a為何值時，直線l與圓C相切；
（2）當直線l與圓C相交于A、B兩點，且AB=2

2

時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標準方程后，找出圓心坐標與圓的半徑r，
（1）當直線l與圓相切時，圓心到直線的距離d等于圓的半徑r，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，讓d等于圓的半徑r，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值；
（2）聯立圓C和直線l的方程，消去y后，得到關于x的一元二次方程，然后利用韋達定理表示出AB的長度，列出關于a的方程，求出方程的解即可得到a的值．

解答：解：將圓C的方程x²+y²-8y+12=0配方得標準方程為x²+（y-4）²=4，
則此圓的圓心為（0，4），半徑為2．
（1）若直線l與圓C相切，則有

|4+2a|

a2+1

=2．解得a=-

3

4

．
（2）聯立方程

ax+y+2a=0 x2+y2-8y+12=0

并消去y，
得（a²+1）x²+4（a²+2）x+4（a²+4a+3）=0．
設此方程的兩根分別為x₁、x₂，
所以x₁+x₂=-

4(a2+2)

a2+1

，x₁x₂=

4(a2+4a+3)

a2+1

則AB=

( x1-x2)  2+(y1-y2) 2

=

(a2+1)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

2

兩邊平方并代入解得：a=-7或a=-1，
∴直線l的方程是7x-y+14=0和x-y+2=0．

點評：此題考查學生掌握直線與圓相切時圓心到直線的距離等于圓的半徑，靈活運用韋達定理及兩點間的距離公式化簡求值，是一道綜合題．