Question

已知與圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線交x軸于A點，交y軸于B點，O為原點，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．則線段AB中點的軌跡方程為

2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）

．

Answer 1

分析：化圓的一般方程為標準方程，求出圓的圓心和半徑，寫出與圓C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直線的截距式方程，化為一般式，由圓心到直線的距離等于半徑列出一關系式，設出A、B的中點坐標，利用中點坐標公式得到中點坐標與切線在坐標軸上的截距的關系，利用代入法可得線段AB中點的軌跡方程．

解答：解：由x²+y²-2x-2y+1=0，得（x-1）²+（y-1）²=1，
所以已知圓的圓心為（1，1），半徑=1，
設直線方程為

x

a

+

y

b

=1．
即bx+ay-ab=0．
因為圓心到切線距離等于半徑，
所以

|b+a-ab|

a2+b2

=1，
（a+b-ab）²=a²+b²，
設AB中點為（x，y），則x=

a

2

，y=

b

2

，
即a=2x，b=2y，代入（a+b-ab）²=a²+b²，
得（2x+2y-4xy）²=4x²+4y²，
整理得2x²y²+xy-2x²y-2xy²=0．
因為a，b都不等于0，
所以x，y也不等于0．
則2xy+1-2x-2y=0
其中x=

a

2

＞1，y=

b

2

＞1．
所以線段AB中點的軌跡方程為2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）．
故答案為2xy-2x-2y-1=0（x＞0，y＞0）．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓的關系，訓練了代入法求軌跡方程，關鍵是對變量范圍的確定，屬于中檔題．