Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，若對于任意的n∈N^*,都有S_n=2a_n-3n,

(1)求數列{a_n}的首項與遞推關系式a_n+1=f(a_n);

(2)先閱讀下面定理，若數列{a_n}有遞推關系a_n+1=Aa_n+B,其中A、B為常數，且A≠1,B≠0,則數列{a_n-}是以A為公比的等比數列，請你在第（1）題的基礎上應用本定理，求數列{a_n}的通項公式;

(3)求數列{a_n}的前n項和S_n.

Answer 1

解析：(1)∵S_n=2a_n-3n,

∴S_n+1=2a_n+1-3(n+1).

∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n-3.

故a_n+1=f(a_n)=2a_n+3.

(2)∵a_n+1+3=2(a_n+3),

∴{a_n+3}為等比數列，首項為a₁+3=6,公比為2，故a_n+3=6×2^n-1=3×2ⁿ.

∴a_n=3×2ⁿ-3.

(3)S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n

=3(2+2²+…+2ⁿ)-3n

=3×2ⁿ⁺¹-6-3n.