Question

如圖，設矩形ABCD（AB＞AD）的周長為24，把它關于AC折起來，AB折過去后，交DC于P，設AB=x，
（1）用x來表示△ADP的面積
（2）求△ADP面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）在三角形ADP中利用勾股定理可求出DP，從而可得△ADP的面積的表達式，注意定義域；
（2）由基本不等式可直接求出△ADP的最大面積及相應的x的值，注意等號成立的條件．

解答：解：（1）∵AB=x，∴AD=12-x，
∵∠PCA=∠BAC=∠PAC，
∴PC=PA，DP=PB'，AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP，
由勾股定理得（12-x）²+DP²=（x-DP）²，得DP=12-

72

x

，
∴△ADP的面積S=

1

2

AD•DP=

1

2

(12-x)•(12-

72

x

)=108-(6x+

432

x

)，
即 S=108-(6x+

432

x

)（6＜x＜12）；
（2）由（1）知S=108-(6x+

432

x

)，
∵x＞0，∴6x+

432

x

≥2

6x• 432 x

=72

2

，
∴S=108-(6x+

432

x

)≤108-72

2

．
當且僅當6x=

432

x

時，即當x=6

2

時，S有最大值108-72

2

．

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，基本不等式的應用，其中根據已知條件求出△ADP的面積的表達式，將問題轉化為利用基本不等式求最值問題，是解答本題的關鍵．屬于中檔題．