Question

如圖，設矩形ABCD（AB＞AD）的周長為l（l為定值），把該矩形沿AC折起來，AB折過去后，交DC于點P，設AB=x，△ADP的面積為y．
（1）求函數y=f（x）的解析式，并指出定義域；
（2）求△ADP的最大面積及相應的x值．

Answer 1

分析：（1）求函數的解析式，關鍵是得出三角形的邊長．由AB=x可得AD=

l

2

-x，由DP=PB'可得AP=x-DP，利用勾股定理可求DP，從而可得函數表達式；
（2）利用基本不等式可得

3l

x

+x≥2

3l

，從而可求面積的最大值．

解答：解：（1）由AB=x可得AD=

l

2

-x，由DP=PB'可得AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP，
利用勾股定理得 （

l

2

-x）²+DP²=（x-DP）²可求DP=

l

2

-

l2

8x

∴△ADP的面積 S=

1

2

AD•DP=

1

2

(12-x)•(

l

2

-

l2

8x

)=3l+

1

16

l2-

l

4

(

3l

x

+x)
函數的定義域為(

l

4

，

l

2

)
（2）由于函數的定義域為(

l

4

，

l

2

)，∴

3l

x

+x≥2

3l

，當且僅當x=

3l

時取等號．
此時△ADP的最大面積為3l+

1

16

l2-

3l

2

點評：本題的考點是函數模型的選擇與英語，主要考查利用三角形知識解決實際問題，關鍵是構造三角形或其它幾何圖形，借助于三角形的知識進行求解，而基本不等式的應用是求解函數最值的常用方法．