Question

【題目】已知橢圓，直線交橢圓于兩點，為坐標原點.

（1）若直線過橢圓的右焦點，求的面積；

（2）若，試問橢圓上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，

【解析】

（1）根據直線過右焦點求出直線方程，聯立直線與橢圓方程，求出或，利用面積公式即可得解；

（2）聯立直線與橢圓方程，根據四邊形為平行四邊形，且.

又，，求出點的坐標為，代入橢圓方程，結合韋達定理計算求解.

（1）設.

直線過橢圓的右焦點，則，

直線的方程為.

聯立得，

解得或.

的面積為.

（2）聯立得，

，解得.

由韋達定理得，.

.

四邊形為平行四邊形，

，且.

又，，

點的坐標為.

又點在橢圓上，即，

整理得.

又，，即，

，即.

，

，

綜上所述，的取值范圍是.