Question

老師告訴學(xué)生小明說，“若O為△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，且有等式，則P點(diǎn)的軌跡必過△ABC的垂心”，小明進(jìn)一步思考何時P點(diǎn)的軌跡會通過△ABC的外心，得到的條件等式應(yīng)為=    ．（用O，A，B，C四個點(diǎn)所構(gòu)成的向量和角A，B，C的三角函數(shù)以及λ表示）

Answer 1

【答案】分析：由題意可得：•（ +）=0，即 與λ（ +）垂直，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則 =，可得λ（ +）=，即可得到，進(jìn)而得到點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，即可得到答案．
解答：解：由題意可得：•（ +）=-||+||=0
∴與λ（ +）垂直
設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則 =，
所以，即，
所以λ（ +）=，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131024183145092364482/SYS201310241831450923644012_DA/27.png">與λ（ +）垂直
所以，
又∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，即P的軌跡會通過△ABC的外心．
故答案為：．
點(diǎn)評：本題主要借助于類比推理重點(diǎn)考查了平面向量的加減法運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，并且也考查了三角形的五心等知識點(diǎn)，屬于中檔題．