Question

老師告訴學(xué)生小明說(shuō)，“若O為△ABC所在平面上的任意一點(diǎn)，且有等式

OP

=

OA

+λ(

AB cosC

| AB |

+

AC cosB

| AC |

)，則P點(diǎn)的軌跡必過(guò)△ABC的垂心”，小明進(jìn)一步思考何時(shí)P點(diǎn)的軌跡會(huì)通過(guò)△ABC的外心，得到的條件等式應(yīng)為

OP

=

OP

=

OB + OC

2

+λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)

．（用O，A，B，C四個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的向量和角A，B，C的三角函數(shù)以及λ表示）

Answer 1

分析：由題意可得：

BC

•（

AB

| AB | cosB

+

AC

| AC | cosC

）=0，即 

BC

與λ（

AB

| AB | cosB

+

AC

| AC | cosC

）垂直，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則

OB + OC

2

=

OD

，可得λ（

AB

| AB | cosB

+

AC

| AC | cosC

）=

DP

，即可得到

BC

•

DP

=0，進(jìn)而得到點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，即可得到答案．

解答：解：由題意可得：

BC

•（

AB

| AB | cosB

+

AC

| AC | cosC

）=-|

BC

|+|

BC

|=0
∴

BC

與λ（

AB

| AB | cosB

+

AC

| AC | cosC

）垂直
設(shè)D為BC的中點(diǎn)，則

OB + OC

2

=

OD

，
所以

OP

=

OB + OC

2

+λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)，即

OP

=

OD

+λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)，
所以λ（

AB

| AB | cosB

+

AC

| AC | cosC

）=

DP

，
因?yàn)?span id="mfi3na3" class="MathJye">

BC

與λ（

AB

| AB | cosB

+

AC

| AC | cosC

）垂直
所以

BC

•

DP

=0，
又∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，即P的軌跡會(huì)通過(guò)△ABC的外心．
故答案為：

OP

=

OB + OC

2

+λ(

AB

| AB |cosB

+

AC

| AC |cosC

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要借助于類比推理重點(diǎn)考查了平面向量的加減法運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，并且也考查了三角形的五心等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．