Question

一種信號燈，只有符號“√”和“×”隨機地反復出現，每秒鐘變化一次，每次變化只出現“√”和“×”兩者之一，其中出現“√”的概率為

1

3

，出現“×”的概率為

2

3

，若第m次出現“√”，記為a_m=1，若第m次出現“×”，則記為a_m=-1，令S_n=a₁+a₂+…+a_n，
（1）求信號燈在4次變化中恰好2次出現“√”的概率．
（2）求S₄=2的概率．

Answer 1

分析：（1）根據題意，信號燈在4次變化中恰好2次出現“√”，即4次獨立重復試驗中恰有2次發生，由n次獨立重復試驗中恰有k次發生的概率計算可得答案；
（2）S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=2，根據題意分析可得，a₁、a₂、a₃、a₄中，有3個為1，另1個為-1，即前4次變化中“√”出現3次，“×”出現1次，由n次獨立重復試驗中恰有k次發生的概率計算可得答案．

解答：解：（1）根據題意，信號燈在4次變化中恰好2次出現“√”，即4次獨立重復試驗中恰有2次發生，
則其概率P=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

=

8

27

（2）S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=2，a₁、a₂、a₃、a₄的值為1或-1，
分析可得，a₁、a₂、a₃、a₄中，有3個為1，另1個為-1，
即前4次變化中“√”出現3次，“×”出現1次．
則其概率P=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)1=

8

81

．

點評：本題考查n次獨立重復試驗中恰有k次發生的概率計算，解題的關鍵在于分析題意，將問題轉化為n次獨立重復試驗中恰有k次發生的事件．