Question

【題目】已知函數f(x)=|x﹣a|，g（x）=x2+2ax+1（a為正實數），滿足f(0)=g(0)；

函數F(x)=f(x)+g(x)+b定義域為D．

（1）求a的值；

（2）若存在x0∈D，使F(x0)=x0成立，求實數b的取值范圍；

（3）若n為正整數，證明：＜4．

（參考數據：lg3=0.3010， =0.1342，=0.0281， =0.0038）

Answer 1

【答案】（1） ；（2） ；（3）見解析.

【解析】

（1）由f（0）=g（0），解方程可得a=1；

（2）求得f（x）+g（x）+b的解析式，由條件討論x≥1，x＜1時，分離參數，解不等式可得b的范圍；（3）設，由n為正整數，化簡G（n），討論G（n）的單調性，即可得證．

（1）∵f（0）=g（0），即|a|=1，又a＞0，∴a=1．

（2）由（1）知，f（x）+g（x）+b=．

當x≥1時，有x2+3x+b=x，即b=﹣x2﹣2x=﹣（x+1）2+1．

∵x≥1，∴﹣（x+1）2+1≤﹣3，此時b≤﹣3．

當x＜1時，有x2+x+2+b=x，即b=﹣x2﹣2

∵x＜1，∴﹣x2﹣2≤﹣2，此時b≤﹣2．

故要使得f（x）+g（x）+b在其定義域內存在不動點，

則實數b的取值范圍應（﹣∞，﹣2].

（3）證明：設，

由為正整數， 所以，

所以，

當時，，即，

即，所以，

由于n為正整數，因此當1≤n≤3時，G（n）單調遞增；

當n≥4時，G（n）單調遞減．（13分）

∴G（n）的最大值是max{G（3），G（4）}．

又，，

所以.