Question

在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別是A₁B₁和B₁B的中點．
（1）求直線AM和CN所成角的大小；
（2）若P為B₁C₁的中點，求證：B₁D⊥平面PMN；
（3）求點A到平面PMN的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）先通過平移將兩條異面直線平移到同一個起點B₁，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（2）根據面面平行的判定定理證明平面A₁C₁B∥平面MNP，而B₁D⊥平面A₁C₁B，從而得到結論；
（3）利用等體積轉化，設點A到平面PMN的距離為h，V_A-MNP=V_P-MNA建立等式，解之即可求出所求．
解答：解：（1）如圖，將AM平移到B₁E，NC平移到B₁F，則∠EB₁F為直線AM與CN所成角或其補角
設邊長為2，則B₁E=B₁F=，EF=
∴由余弦定理得cos∠EB₁F=，
即直線AM和CN所成角的大小為arccos
（2）根據中位線定理可知MN∥A₁B，NP∥C₁B
∴MN∥平面A₁C₁B，NP∥平面A₁C₁B，MN∩NP=P
∴平面A₁C₁B∥平面MNP，
而B₁D⊥平面A₁C₁B，
所以B₁D⊥面PMN；
（3）S_△MNP=，S_△MNA=
設點A到平面PMN的距離為h
∴V_A-MNP=V_P-MNA
即S_△MNPh=S_△MNA×1
∴h=
點評：本小題主要考查異面直線所成的角，以及線面垂直的判定和點面距離的度量，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于中檔題．