Question

已知

a

，

b

滿足|

a

|=|

b

|=1，且

a

與

b

之間有關系式|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，其中k＞0．
（Ⅰ）用k表示

a

•

b

；
（Ⅱ）求

a

•

b

的最小值，并求此時

a

與

b

的夾角θ的大小．

Answer 1

（Ⅰ）∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|
∴|k

a

+

b

|2=3|

a

-k

b

|2，
∴4k

a

•

b

=k2+1，
∴

a

•

b

=

k2+1

4k

…（6分）；
（Ⅱ）

a

•

b

=

k2+1

4k

=

1

4

(k+

1

k

)≥

1

4

•2

k• 1 k

=

1

2

，當且僅當k=1時取“=”
故

a

•

b

的最小值為

1

2

…（10分）
∵

1

2

=

a

•

b

=|

a

||

b

|cos＜

a

，

b

＞=1×1×cos＜

a

，

b

＞，
∴cos＜

a

，

b

＞=

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞=60°…（13分）．