Question

已知一橢圓經過點（2，-3）且與橢圓9x²+4y²=36有共同的焦點
（1）求橢圓方程；
（2）若P為橢圓上一點，且，P，F₁，F₂是一個直角三角形的頂點，且|PF₁|＞|PF₂|，求|PF₁|：|PF₂|的值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，可設所求橢圓方程為 

x2

m

+

y2

m+5

=1(m＞0)，代入（2，-3）點，解得m=10，或m=-2（舍），得到所求方程．
 （2）①若∠PF₂F₁=90⁰ ，|PF2|=

b2

a

=

2

3

15

，由橢圓的定義可得|PF1|=2a-|PF2|=

4

3

15

，
于是|PF₁|：|PF₂|=2． ②若∠F₁PF₂=90⁰，則

|PF1|+|PF2|=2 15  |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20

，

a+b = 2 5 a2 +b2 = 20

，a2+(2

15

-a)2 =20，由△＜0 知無解，即這樣的三角形不存在．

解答：解：（1）∵9x2+4y2=36∴a=3，b=2，c=

5

，
與之有共同焦點的橢圓可設為

x2

m

+

y2

m+5

=1(m＞0)，代入（2，-3）點，
解得m=10，或m=-2（舍），故所求方程為

x2

10

+

y2

15

=1．
（2）①若∠PF₂F₁=90⁰ ，
則|PF2|=

b2

a

=

10

15

=

2

3

15

∴|PF1|=2a-|PF2|=2

15

-

2

3

15

=

4

3

15

，
于是|PF₁|：|PF₂|=2．
②若∠F₁PF₂=90⁰，則

|PF1|+|PF2|=2 15  |PF1|2+|PF2|2=(2c)2=20

，

a+b = 2 5 a2 +b2 = 20

，a2+(2

15

-a)2 =20，
∵△＜0，∴無解，即這樣的三角形不存在，
綜合1，2 知，|PF₁|：|PF₂|=2．

點評：本題考查橢圓的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，求出|PF₁|和|PF₂|的值，是解題的關鍵．