Question

（本小題滿分10分）經過點，傾斜角為的直線，與曲線：（為參數）相交于兩點．
（1）寫出直線的參數方程，并求當時弦的長；[
（2）當恰為的中點時，求直線的方程；
（3）當時，求直線的方程；
（4）當變化時，求弦的中點的軌跡方程．

Answer 1

，
弦的中點的軌跡方程為；

（1）的參數方程（為參數）．       …………1分
曲線化為：，將直線參數方程的代入，得          
 
∵恒成立，               ………………3分
∴方程必有相異兩實根，且，．
∴
∴當時，．                 ………………5分
（2）由為中點，可知，
∴，
故直線的方程為．                ………………7分
（3）∵，得
∴,
∴或
故直線的方程為或          ………………9分
（4）∵中點對應參數
∴（參數 ），消去，得
弦的中點的軌跡方程為；
軌跡是以為圓心，為半徑的圓．            ………………10分