Question

【題目】德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名的函數f（x）= ，稱為狄利克雷函數，則關于函數f（x）有以下四個命題： ①f（f（x））=1；
②函數f（x）是偶函數；
③任意一個非零有理數T，f（x+T）=f（x）對任意x∈R恒成立；
④存在三個點A（x1 ， f（x1）），B（x2 ， f（x2）），C（x3 ， f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．
其中真命題的個數是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：①∵當x為有理數時，f（x）=1；當x為無理數時，f（x）=0， ∴當x為有理數時，ff（（x））=f（1）=1；當x為無理數時，f（f（x））=f（0）=1，
即不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1，故①正確；
②∵有理數的相反數還是有理數，無理數的相反數還是無理數，
∴對任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正確；
③若x是有理數，則x+T也是有理數；若x是無理數，則x+T也是無理數，
∴根據函數的表達式，任取一個不為零的有理數T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故③正確；
④取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，
∴A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．
即真命題的個數是4個，
故選：A．
①根據函數的對應法則，可得不管x是有理數還是無理數，均有f（f（x））=1；
②根據函數奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數；
③根據函數的表達式，結合有理數和無理數的性質；
④取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），三點恰好構成等邊三角形．