Question

【題目】已知函數f（x）=|x+2|+|x+a|（a∈R）．
（Ⅰ）若a=5，求函數f（x）的最小值，并寫出此時x的取值集合；
（Ⅱ）若f（x）≥3恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若a=5，f（x）=|x+2|+|x+5|= ．
其圖象如圖：

∴f（x）的最小值為3，使f（x）取得最小值的x的集合為{x|﹣5≤x≤﹣2}；
（Ⅱ）f（x）=|x+2|+|x+a|=|x﹣（﹣2）|+|x﹣（﹣a）|，
由絕對值的幾何意義可知，f（x）為數軸上動點x與兩個定點﹣2、﹣a的距離的和，
如圖：

當動點x與﹣2重合時，|x﹣（﹣2）|最小為0，要使f（x）≥3恒成立，
則|﹣2﹣（﹣a）|≥3，即|a﹣2|≥3，得a﹣2≤﹣3或a﹣2≥3，
∴a≤﹣1或a≥5
【解析】（Ⅰ）寫出分段函數，畫圖得答案；（Ⅱ）由絕對值的幾何意義，把f（x）≥3恒成立轉化為關于a的含有絕對值的不等式求解．