Question

棱錐的底面是正三角形，邊長為1，棱錐的一條側棱與底面垂直，其余兩條側棱與底面所成角都等于，設D為BC中點．
（1）求這個棱錐的側面積和體積；
（2）求異面直線PD與AB所成角的大小．

Answer 1

解：（1）∵PA⊥平面ABC，兩條側棱與底面所成角都等于，∴，
∵AB=AC=1，∴，…．（2分）
∵D為BC中點，∴PD⊥BC，∴，…．（3分）
∴，…．（5分）
…．（6分）
（2）取AC中點E，連接DE，

則DE∥AB，∴∠PDE為異面直線PD與AB所成角（或其補角）．…．（8分）
△PDE中，，…．（10分）
設∠PDE=θ，則，…．（12分）
因此異面直線PD與AB所成角的大小為．…．（14分）
分析：（1）棱錐的側面積等于三個側面的面積的和，體積利用即可求解；
（2）取AC中點E，連接DE，則∠PDE為異面直線PD與AB所成角（或其補角）．△PDE中，利用余弦定理可求異面直線PD與AB所成角的大小．
點評：本題考查棱錐的側面積和體積，考查異面直線所成的角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．