Question

【題目】已知圓的圓心在軸的正半軸上，半徑為2，且被直線截得的弦長(zhǎng)為.

（1）求圓的方程；

（2）設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，證明：經(jīng)過，，三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) 圓：. (2)證明見解析；，.

【解析】

（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線距離公式以及圓的弦長(zhǎng)列方程，解方程求得圓心坐標(biāo)，進(jìn)而求得圓的方程.（2）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)過圓的切線的幾何性質(zhì)，得到過，，三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓.設(shè)出圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到該圓對(duì)應(yīng)的方程，根據(jù)方程過的定點(diǎn)與無關(guān)列方程組，解方程組求得該圓所過定點(diǎn).

解：（1）設(shè)圓心，

則圓心到直線的距離.

因?yàn)閳A被直線截得的弦長(zhǎng)為

∴.

解得或（舍），∴圓：.

（2）已知，設(shè)，

∵為切線，∴，∴過，，三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓.

設(shè)圓上任一點(diǎn)為，則.

∵，，∴

即.

若過定點(diǎn)，即定點(diǎn)與無關(guān)

令

解得或，所以定點(diǎn)為，.