【題目】如圖，在三棱柱
中，側面
為正方形，側面
為菱形，
，平面
平面.
（1）求直線
與平面所成角的正弦值；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）證明出
平面
，然后以點
為坐標原點，分別以
，
所在的直線為
軸，建立空間直角坐標系
，設正方形
的邊長為
，利用空間向量法可計算出直線
與平面所成角的正弦值；
（2）計算出平面
的一個法向量
，以及平面
的一個法向量
，利用空間向量法可計算出二面角
的余弦值.
（1）因為四邊形為正方形，所以
，
因為平面
平面，平面
平面
，
平面，所以平面.
以點為坐標原點，分別以，所在的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
不妨設正方形的邊長為，則
，
.
在菱形中，因為
，所以
，所以
.
因為平面的法向量為
，
設直線與平面所成角為
，則
，
，
即直線與平面所成角的正弦值為；
（2）由（1）可知，
，所以
.
設平面的一個法向量為
，
因為
即
取
，
，
，即
.
設平面的一個法向量為
，因為
，
，
因為
，所以
，取
.
設二面角的平面角為
，
則
，
所以二面角的余弦值為.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱錐
中，底面四邊形
為正方形，已知
平面，
，
.
（1）證明：
；
（2）求
與平面
所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在一點
，使得平面
平面
？若存在，求
的值并證明，若不存在，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某廠用鮮牛奶在某臺設備上生產A，B兩種奶制品.生產1噸A產品需鮮牛奶2噸，使用設備1小時，獲利1 000元；生產1噸B產品需鮮牛奶1.5噸，使用設備1.5小時，獲利1 200元.要求每天B產品的產量不超過A產品產量的2倍，設備每天生產A，B兩種產品時間之和不超過12小時.假定每天可獲取的鮮牛奶數量W(單位：噸)是一個隨機變量，其分布列為
W | 12 | 15 | 18 |
P | 0.3 | 0.5 | 0.2 |
該廠每天根據獲取的鮮牛奶數量安排生產，使其獲利最大，因此每天的最大獲利Z(單位：元)是一個隨機變量.
(I)求Z的分布列和均值；
(II)若每天可獲取的鮮牛奶數量相互獨立，求3天中至少有1天的最大獲利超過10 000元的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
（
）的左焦點為
，
是上一點，且
與
軸垂直，
，
分別為橢圓的右頂點和上頂點，且
，且
的面積是
，其中
是坐標原點.
（1）求橢圓的方程.
（2）若過點的直線
，
互相垂直，且分別與橢圓交于點
，
，
，
四點，求四邊形
的面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知某校中小學生人數和近視情況分別如圖所示.為了解該校中小學生的近視形成原因，用分層抽樣的方式從中抽取一個容量為50的樣本進行調查.
（1）求樣本中高中生、初中生及小學生的人數；
（2）從該校初中生和高中生中各隨機抽取1名學生，用頻率估計概率，求恰有1名學生近視的概率；
（3）假設高中生樣本中恰有5名近視學生，從高中生樣本中隨機抽取2名學生，用
表示2名學生中近視的人數，求隨機變量的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】(2017·衢州調研)已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中點M是頂點P在底面ABCD的射影，N是PC的中點.
(1)求證：平面MPB⊥平面PBC；
(2)若MP＝MC，求直線BN與平面PMC所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，
．證明：
（1）存在唯一x0∈（0,1），使f(x0)＝0；
（2）存在唯一x1∈（1，2），使g(x1)＝0，且對(1)中的x0，有x0＋x1<2．
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