Question

【題目】已知橢圓：（）的左焦點為，是上一點，且與軸垂直，，分別為橢圓的右頂點和上頂點，且，且的面積是，其中是坐標原點.

（1）求橢圓的方程.

（2）若過點的直線，互相垂直，且分別與橢圓交于點，，，四點，求四邊形的面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）依題意可設，則有，解出即可；

（2）分類討論，當，時，；

當，斜率存在時，設：，：，分別聯立橢圓方程，利用韋達定理求出，，再根據面積公式以及基本不等式即可求出答案．

解：（1）依題意畫出下圖可設，，，

則有：，解得，

∴橢圓的標準方程為；

（2）①當，時，；

②當，斜率存在時，設：，：，分別聯立橢圓方程，

聯立得，

∴，，

∴，

同理，

∴，

當且僅當即即時等號成立，

故四邊形的面積的最小值．