Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)其中a為常數(shù)，且．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求在（e=2．718 28…）上的值域；

（Ⅱ）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

    得                                                           ………………………1分

    令，即，解得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，

    據(jù)此，函數(shù)在上為增函數(shù)，                         ………………………3分

    而，，所以函數(shù)在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052107444495312908/SYS201205210746528593589850_DA.files/image001.png">

                                                                                          ………………………4分

（Ⅱ）由令，得即

      當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

      當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；…………………5分

      若，即，易得函數(shù)在上為增函數(shù)，

此時(shí)，，要使對(duì)恒成立，只需即可，

所以有，即

而，即，所以此時(shí)無(wú)解.

………………………7分

若，即，易知函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

要使對(duì)恒成立，只需，即，

由和

得.                                                  ………………………9分

      若，即，易得函數(shù)在上為減函數(shù)，

此時(shí)，，要使對(duì)恒成立，只需即可，

所以有，即，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052107444495312908/SYS201205210746528593589850_DA.files/image043.png">，所以.     …………………11分

      綜合上述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.                ……………………12分