Question

有赤玉2塊，青玉3塊，白玉5塊，將這10塊玉裝在一個袋內，從中取出4塊．取出的玉中同色的2塊作為一組．赤色一組得5點，青色一組得3點，白色一組得1點，得點合計數用x表示．
（1）x共有多少種值？其中最大值是什么，最小值是什么？
（2）x取最大值的概率是多少？
（3）x取最小值的概率是多少？x取最小值時，取出3種不同顏色的玉的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）由題意知，本題包含兩種情況，一是同色組有兩組的，二是同色組只有一組的，根據這兩種情況，列舉出所有的結果，寫出這7種情況對應的點數，得到所有的點數，看出最大值和最小值．
（2）根據第一問列出的情況得到x取最大值時，即赤玉2塊，青玉2塊，表示出事件數和試驗發生包含的所有事件數，根據等可能事件的概率，得到結果．
（3）由題意知x取最小值有兩種情形：{白，白，白，△}（△為白色以外的玉），{白，白，赤，青}，這兩種情形的取法數分別為C₅³C₅¹和C₅²C₂¹C₃¹，列出試驗發生包含的所有事件數，得到概率．

解答：解：（1）滿足條件的同色組有兩組的情況為：
{赤，赤，青，青}8點，{赤，赤，白，白}6點，{青，青，白，白}4點，{白，白，白，白}2點．
同色組只有一組的情況為：
{赤，赤，△，○}5點（△，○為異色的玉，下同），{青，青，△，○}3點，{白，白，△，○}1點．
由上可知，x共有7種值，最大值為8，最小值為1．
（2）由題意知本題是一個等可能事件的概率
試驗發生包含的事件是取出的不同方法總數為C₁₀⁴=210．
x取最大值時，即赤玉2塊，青玉2塊的取法種數為C₂²C₃²=3，
∴其概率為

3

210

=

1

70

．
（3）x取最小值有兩種情形：{白，白，白，△}（△為白色以外的玉），{白，白，赤，青}，
這兩種情形的取法數分別為C₅³C₅¹=50和C₅²C₂¹C₃¹=60，
∴x取最小值的概率為

50+60

210

=

11

21

．
x取最小值時，取3種不同顏色的玉的取法只有C₅²C₂¹C₃¹=60種，
∴所求概率為

60

60+50

=

6

11

．

點評：本題考查等可能事件的概率，考查排列組合的實際應用，是一個題意比較難讀懂和比較難表達的題目，這種題目一般不會出現在解答題目中．可以從題目中摘出一部分作為一個選擇題目．