Question

已知梯形中，∥，，，、分別是、上的點，∥，，是的中點．沿將梯形翻折，使平面⊥平面 （如圖）.


（I）當時，求證： ；
（II）若以、、、為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；
（III）當取得最大值時，求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）略
（2）時有最大值為．
（3）所求二面角D-BF-C的平面角為鈍角，所以此二面角的余弦值為－．

(1)作DH⊥EF于H，連BH，GH，
由平面平面知：DH⊥平面EBCF，而EG平面EBCF，故EG⊥DH．
然后再證明,從而可證得.
(2) ∵AD∥面BFC，可把轉(zhuǎn)化為從而可得,因而最值可求.
(3)宜采用向量法求解，要先求出二面角二個面的法向量，然后利用法向量的夾角與二面角相等或互補求二面角的大小.