Question

如下圖所示，已知兩個正四棱錐P—ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2，AB=4.

（1）證明PQ⊥平面ABCD；

（2）求異面直線AQ與PB所成的角；

（3）求點P到平面QAD的距離.

Answer 1

（1）證明1：連結AC、BD，設AC∩BD=O，由P-ABCD與Q-ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.

從而P、O、Q三點在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.

（2）解法1：由題設知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

由（1），QO⊥平面ABCD，故可分別以直線CA、DB、QP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系（如圖），由題條件，相關各點的坐標分別是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，-2），B（0，，0）.

所以=（，0，-2）;

=（0，，-1）.

于是cos＜,＞==.

從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos.

（3）解法1：由（2），點D的坐標是（0，-，0），

=（-，-，0），

=（0，0，-3），設n=(x,y,z)是平面QAD的一個法向量，由

得

取x=1,得n=（1，-1，-）.

所以點P到平面QAD的距離d=.

（1）證明2：取AD的中點M，連結PM、QM，因為P—ABCD與Q—ABCD都是正四棱錐，

所以AD⊥PM，AD⊥QM，從而AD⊥平面PQM.

又PQ平面PQM，所以PQ⊥AD.

同理，PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD

（2）解法2：連結AC、BD.

設AC∩BD=O，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質可知O在PQ上.

從而P、A、Q、C四點共面.

取OC的中點N，連結PN,

因為.

從而AQ∥PN，∠BPN（或其補角）是異面直線AQ與PB所成的角.

連結BN.

因為PB=，

PN=，

BN=

所以cosBPN=.

從而異面直線AQ與PB所成的角是arccos.

（3）解法2：由（1）知，AD⊥平面PQM，所以平面QAD⊥平面PQM.

過P作PH⊥QM于H，則PH⊥平面QAD，

所以PH的長為點P到平面QAD的距離.

連結OM，因為OM=AB=2=OQ，所以∠MQP=45°,

又PQ=PO+QO=3，于是PH=PQsin45°=,即點P到平面QAD的距離是.