Question

 (本小題滿分12分)

如圖，已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的側棱與底面垂直，AA₁＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M、N分別是CC₁、BC的中點，點P在A₁B₁上，且滿足＝λ(λ∈R).

(1)證明：PN⊥AM；

(2)當λ取何值時，直線PN與平面ABC所成的角θ最大？并求該最大角的正切值；

(3)若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，試確定點P的位置.

Answer 1

解：(1)證明：如圖，以AB，AC，AA₁分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系A－xyz.

則P(λ，0,1)，N(，，0)，M(0,1，)，(2分)

從而＝(－λ，，－1)，＝(0,1，)，

·＝(－λ)×0＋×1－1×＝0，

所以PN⊥AM.(3分)

(2)平面ABC的一個法向量為n＝(0,0,1)，

則sinθ＝|sin(－〈，n〉)|＝|cos〈，n〉|

＝||＝(※).(5分)

而θ∈[0，]，當θ最大時，sinθ最大，tanθ最大，θ＝除外，

由(※)式，當λ＝時，(sinθ)_max＝，(tanθ)_max＝2.(6分)

(3)平面ABC的一個法向量為n＝＝(0,0,1).

設平面PMN的一個法向量為m＝(x，y，z)，

由(1)得＝(λ，－1，).

由(7分)

解得. (9分)

∵平面PMN與平面ABC所成的二面角為45°，

∴|cos〈m，n〉|＝||＝＝，

解得λ＝－.(11分)

故點P在B₁A₁的延長線上，且|A₁P|＝.(12分)