Question

【題目】設直線l的方程是x+my+2 =0，圓O的方程是x2+y2=r2（r＞0）．
（1）當m取一切實數時，直線l與圓O都有公共點，求r的取值范圍；
（2）r=5時，求直線l被圓O截得的弦長的取值范圍；
（3）當r=1時，設圓O與x軸相交于P，Q兩點，M是圓O上異于P，Q的任意一點，直線PM交直線l′：x=3于點P′，直線QM交直線l′于點Q′．求證：以P′Q′為直徑的圓C總經過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：直線l過定點（﹣2 ，0），當m取一切實數時，直線l與圓O都有公共點等價于點（﹣2 ，0）在圓O內或在圓O上，

所以12+0≤r2，解得r≥2 ．

所以r的取值范圍是[2 ，+∞）

（2）解：設坐標為（﹣2 ，0）的點為點A，則|OA|=2 ．

則當直線l與OA垂直時，由垂徑定理得直線l被圓O截得的弦長為l=2 =2 ；

當直線過圓心時，弦長最大，即x軸被圓O截得的弦長為2r=10；

所以直線l被圓O截得的弦長的取值范圍是[2 ，10]

（3）證明：對于圓O的方程x2+y2=1，令x=±1，即P（﹣1，0），Q（1，0）．

又直線l方程為x=3，設M（s，t），

則直線PM方程為y= （x+1）．

令x=3，得P'（3， ），

同理可得：Q'（3， ）．

所以圓C的圓心C的坐標為（3， ），半徑長為| |，

又點M（s，t）在圓上，又s2+t2=1．故圓心C為（3， ），半徑長| |．

所以圓C的方程為（x﹣3）2+（y﹣ ）2=（ ）2，

又s2+t2=1，

故圓C的方程為（x﹣3）2+y2﹣ ﹣8=0，

令y=0，則（x﹣3）2=8，

所以圓C經過定點，y=0，則x=3±2 ，

所以圓C經過定點且定點坐標為（3±2 ，0）

【解析】（1）只需直線所過的定點在圓內，即可使得m取一切值時，直線與圓都有公共點；（2）顯然定點與圓心的連線垂直于直線時，弦長最短，直線過圓心時，弦長為直徑最大．（3）由已知我們易求出P，Q兩個點的坐標，設出M點的坐標，我們可以得到點P′與Q′的坐標（含參數），進而得到以P′Q′為直徑的圓的方程，根據圓的方程即可判斷結論．