Question

已知函數f（x）的圖象與函數h（x）=x++2的圖象關于點A（0，1）對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）+，且g（x）在區間（0，2]上為減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求f（x）的解析式，設f（x）圖象上任一點坐標為（x，y），即尋找坐標x，y的關系式，這可從對稱性方面考慮即可；
（2）利用導數研究單調性，即g′（x）≤0在區間（0，2]上恒成立，再利用參數分離法求出a的范圍．
解答：解：（1）設f（x）圖象上任一點坐標為（x，y），
點（x，y）關于點A（0，1）的對稱點（-x，2-y）在h（x）圖象上．
∴2-y=-x++2．
∴y=x+，即f（x）=x+．
（2）g（x）=x+，
∵g′（x）=1-，g（x）在（0，2]上遞減，
∴1-≤0在x∈（0，2]時恒成立，
即a≥x²-1在x∈（0，2）時恒成立．
∵x∈（0，2]時，（x²-1）_max=3，
∴a≥3．
點評：本小題主要考查函數的導數，單調性，恒成立問題等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．