Question

已知函數f(x)=2x+

2

x

+alnx，a∈R．
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上單調遞增，求實數a的取值范圍．
（2）記函數g（x）=x²[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函數f（x）的解析式．

Answer 1

（本小題滿分14分）
（1）f′(x)=2-

2

x2

+

a

x

≥0，
∴a≥

2

x

-2x在[1，+∞）上恒成立…（2分）
令h(x)=

2

x

-2x，x∈[1，+∞)
∵h′(x)=-

2

x2

-2＜0恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）單調遞減…（4分）
h（x）_max=h（1）=0…（6分）
∴a≥0，
故實數a的取值范圍為[0，+∞）．…（7分）
（2）g（x）=2x³+ax-2，x＞0
∵g′（x）=6x²+a…（9分）
當a≥0時，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）單調遞增，無最小值，不合題意，
∴a＜0．…（11分）
令g′（x）=0，則x=

-a 6

（舍負）
∵0＜x＜

-a 6

時，g′（x）＜0；x＞

-a 6

時，g′（x）＞0，
∴g（x）在(0，

-a 6

)上單調遞減，在(

-a 6 ，

+∞)上單調遞增，
則x=

-a 6

是函數的極小值點．g(x)min=g(x)極小=g(

-a 6

)=-6．…（13分）
解得a=-6，
故f(x)=2x+

2

x

-6lnx．…（14分）