Question

已知函數f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf′（x）≤x²+ax+1，求a的取值范圍；
（Ⅱ）證明：（x-1）f（x）≥0．

Answer 1

（Ⅰ）函數的定義域為（0，+∞）
求導函數，可得f′(x)=

x+1

x

+lnx-1=lnx+

1

x

，…（2分）
∴xf′（x）=xlnx+1，
題設xf′（x）≤x²+ax+1等價于lnx-x≤a，
令g（x）=lnx-x，則g′（x）=

1

x

-1．…（4分）
當0＜x＜1時，g′（x）＞0；當x≥1時，g′（x）≤0，
∴x=1是g（x）的最大值點，
∴g（x）≤g（1）=-1．…（6分）
綜上，a的取值范圍是[-1，+∞）．…（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，g（x）≤g（1）=-1，即lnx-x+1≤0；
當0＜x＜1時，f（x）=（x+1）lnx-x+1=xlnx+（lnx-x+1）≤0；…（10分）
當x≥1時，f（x）=lnx+（xlnx-x+1）=lnx+x（lnx+

1

x

-1）≥0
所以（x-1）f（x）≥0…（13分）