Question

已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax(a∈R)．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)g(x)＝x²－4x＋2，若對任意x₁∈(0，＋∞)，均存在x₂∈[0,1]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求a的取值范圍．

Answer 1

(1) f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為   (2)

(1)f′(x)＝a＋＝ (x＞0)．
①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x＞0，故ax＋1＞0，
f′(x)＞0，
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．
②當(dāng)a＜0時(shí)，由f′(x)＝0，得x＝－.
在區(qū)間上，f′(x)＞0，在區(qū)間上，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
(2)由題意得f(x)_max＜g(x)_max，而g(x)_max＝2，
由(1)知，當(dāng)a≥0時(shí)，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意．
當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故f(x)的極大值即為最大值，f＝－1＋ln＝－1－ln(－a)，所以2＞－1－ln(－a)，解得a＜－.
故a的取值范圍為.