Question

已知a,b為正數,求證:

(1)若+1>,則對于任何大于1的正數x,恒有ax+>b成立.

(2)若對于任何大于1的實數x,恒有ax+>b成立,則+1>.

 

Answer 1

見解析

【解析】證明：(1)∵x>1,∴ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2.

∵+1>(b>0),

∴(+1)2>b.

即ax+>b.

(2)∵ax+>b對于大于1的實數x恒成立,

即x>1時,[ax+]min>b,

而ax+=a(x-1)++1+a≥2+1+a=(+1)2,

當且僅當a(x-1)=,

即x=1+>1時取等號.

故[ax+]min=(+1)2.

則(+1)2>b,即+1>.