Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分9分．

已知數列是各項均為正數的等差數列，公差為d（d 0）．在之間和b,c之間共插入個實數，使得這個數構成等比數列，其公比為q．

（1）求證：；

（2）若，求的值；

（3）若插入的n個數中，有s個位于a,b之間，t個位于b,c之間，且都為奇數，試比較s與t的大小，并求插入的n個數的乘積（用表示）.

Answer 1

解：（1）由題意知，，         

又，可得，          ………………………………2分

即，故，又是正數，故．………………………………4分

（2）由是首項為1、公差為的等差數列，故，

若插入的這一個數位于之間，則，，

消去可得，即，其正根為．………7分

若插入的這一個數位于之間，則，，

消去可得，即，此方程無正根．

故所求公差．　　　　　　　　  　………………………………………9分

（3）由題意得，，又，

故，可得，又，

故，即．

又，故有，即．　  　………………………………………12分

設個數所構成的等比數列為，則，

由…，，可得

……，  ……………………14分

又，，

由都為奇數，則q既可為正數，也可為負數，

①若q為正數，則…，插入n個數的乘積為；

②若q為負數，…中共有個負數，

故…，所插入的數的乘積為．

所以當N*)時，所插入n個數的積為；

當N*）時，所插入n個數的積為．  …………………18分

（另法：由又，，

由都為奇數，可知是偶數，q既可為正數也可為負數．

……　        

①若q為正數，則…，

故插入n個數的乘積為；                        …………………15分

②若q為負數，由是偶數，可知的奇偶性與的奇偶性相同，

可得…．

所以當N*)時，所插入n個數的積為；

當N*）時，所插入n個數的積為． 　…………………18分）