Question

【選修4-5：不等式選講】
已知實數x，y，z滿足x²+y²+z²=1．
（Ⅰ）求x+2y+2z的取值范圍；
（Ⅱ）若不等式|a-3|+

a

2

≥x+2y+2z對一切實數x，y，z恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由柯西不等式可得9=（1²+2²+2²）（x²+y²+z²）≥（1×x+2×y+2×z）²，即可得出x+2y+2z的取值范圍．
（II）不等式|a-3|+

a

2

≥x+2y+2z對一切實數x，y，z恒成立?|a-3|+

a

2

≥(x+2y+2z)max，再對a分類討論即可得出．

解答：解：（I）由柯西不等式可得9=（1²+2²+2²）（x²+y²+z²）≥（1×x+2×y+2×z）²，
∴-3≤x+2y+2z≤3，當且僅當

x 1 = y 2 = z 2 x2+y2+z2=1

，即y=z=2x=

2

3

時，右邊取等號；同理當且僅當y=z=2x=-

2

3

時左邊取等號．
（II）由（I）可知：-3≤x+2y+2z≤3，∴（x+2y+2z）_max=3．
∴不等式|a-3|+

a

2

≥x+2y+2z對一切實數x，y，z恒成立?|a-3|+

a

2

≥(x+2y+2z)max=3．
∴

a≥3 a-3+ a 2 ≥3

或

a＜3 3-a+ a 2 ≥3

，
解得a≥4或a≤0．

點評：本題考查了柯西不等式的應用、含絕對值不等式的解法、分類討論等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．