Question

如圖，某自來水公司要在公路兩側鋪設水管，公路為東西方向，在路北側沿直線鋪設線路l₁，在路南側沿直線鋪設線路l₂，現要在矩形區域ABCD內沿直線將l₁與l₂接通．已知AB = 60m，BC = 80m，公路兩側鋪設水管的費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設水管的費用為每米2萬元，設∠EFB= α,矩形區域內的鋪設水管的總費用為W．

（1）求W關于α的函數關系式；
（2）求W的最小值及相應的角α．

Answer 1

（1）=80+ 60tanα;（2）,.

試題分析：（1）過E作，垂足為M，由題意得∠MEF="α," 故有，，,化簡即可；（2），利用導數求出的最大值和相應的角度即可.
試題解析：（1）如圖，過E作，垂足為M，由題意得∠MEF=α，
故有，，，      3分
所以
=80+ 60tanα（其中      8分
（2）W
．
設，
則．        11分
令得，即，得．
列表

	+	0
	單調遞增	極大值	單調遞減

所以當時有，此時有．         14分
答：鋪設水管的最小費用為萬元，相應的角．         16分