Question

（14分）已知函數，其中常數。

（1）當時，求函數的單調遞增區間；

（2）當時，是否存在實數，使得直線恰為曲線的切線？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；

（3）設定義在上的函數的圖象在點處的切線方程為，當時，若在內恒成立，則稱為函數的“類對稱點”。當，試問是否存在“類對稱點”？若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）。（2）不存在；（3）存在“類對稱點”，是一個“類對稱點”的橫坐標。

【解析】

試題分析：（1），其中，…………………. ………. ……………2

令得或.……………………………

當及時，當時，……………3

的單調遞增區間為。……………………….4

（2）當時，，其中，

令，…………………………5

方程無解，…………………………………………………6

不存在實數使得直線恰為曲線的切線。………7

（3）由（2）知，當時，函數在其圖象上一點處的切線方程為………………..8

設則  …………………………………….9

若在上單調遞減，時，，此時………………………………….

若在上單調遞減，時，，此時……………………………………

在上不存在“類對稱點”………………..11

若在上是增函數，

當時，，當時，，故

即此時點是的“類對稱點”

綜上，存在“類對稱點”，是一個“類對稱點”的橫坐標。…….14

考點：導數的幾何意義；利用導數研究函數的單調性。

點評：①本題主要考查函數的單調增區間的求法，以及探索滿足條件的實數的求法，探索函數是否存在“類對稱點”．解題時要認真審題，注意分類討論思想和等價轉化思想的合理運用．②利用導數求函數的單調區間時一定要先求函數的定義域。