Question

在數列中，，且前n項的算術平均數等于第n項的倍（）.
（1）寫出此數列的前5項；
（2）歸納猜想的通項公式，并用數學歸納法證明.

Answer 1

（1）；（2），證明過程詳見解析.

試題分析：（1）根據條件中描述前項的算術平均數等于第項的倍，可以得到相應其數學表達式為，結合，分別取，
得，
；（2）根據（1）中所求，可以猜測，利用數學歸納法，假設當時，結論成立，則當時，根據（1）中得到的式子，令，可以求得，即當時，猜想也成立，從而得證.
（1）由已知，分別取，
得，
；
∴數列的前5項是：  6分；
（2）由（1）中的分析可以猜想  8分，
下面用數學歸納法證明：
①當時，猜想顯然成立  9分，
②假設當時猜想成立，
即  10分，
那么由已知，得，
即.∴，
即，又由歸納假設，得，
∴，即當時，猜想也成立.
綜上①和②知，對一切，都有成立  13分．