Question

（滿分16分）
設數列的前項和為.若對任意的正整數，總存在正整數，使得，則稱是“數列”.
（1）若數列的前項和為，證明：是“數列”.
（2）設是等差數列，其首項，公差，若是“數列”，求的值；
（3）證明：對任意的等差數列，總存在兩個“數列” 和，使得成立.

Answer 1

（1）證明見解析；（2）；（3）證明見解析．

（1）首先，當時，，所以，所以對任意的，是數列中的項，因此數列是“數列”．
（2）由題意，，數列是“數列”，則存在，使，，由于，又，則對一切正整數都成立，所以．
（3）首先，若（是常數），則數列前項和為是數列中的第項，因此是“數列”，對任意的等差數列，（是公差），設，，則，而數列，都是“數列”，證畢．
【考點】（1）新定義與數列的項，（2）數列的項與整數的整除；（3）構造法．