Question

如圖所示，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn).求AB與平面BDF所成角的正弦值.

Answer 1

AB與平面BDF所成角的正弦值為.

以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BA、BC、BE所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F(xiàn)（1，0，1）.
∴=（0，2，1），=（1，-2，0）.
設(shè)平面BDF的一個法向量為
n=（2，a，b），
∵n⊥，n⊥，
∴
即
解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.
設(shè)AB與平面BDF所成的角為，則法向量n與的夾角為-，
∴cos（-）===,
即sin=,故AB與平面BDF所成角的正弦值為.