Question

【題目】已知過拋物線x2=4y的焦點F的直線l與拋物線相交于A、B兩點．
（1）設拋物線在A、B處的切線的交點為M，若點M的橫坐標為2，求△ABM的外接圓方程．
（2）若直線l與橢圓 + =1的交點為C，D，問是否存在這樣的直線l使|AF||CF|=|BF||DF|，若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設

故AB：

過（0，1）得﹣

故

∴過A，B，M的圓是以AB為直徑的圓

又

即

聯(lián)立兩式解得xM=t1+t2=2，yM=t1t2=﹣1

故AB的中點G坐標為（2，3），|GM|=4

所求圓的方程為（x﹣2）2+（y﹣3）2=16

（2）解：設

設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），

則

又 ，

∴x1+x2=4k，x1x2=﹣4

將 ，…①

由

將 ，

由①②得k=0或k2=1，k=±1，

經(jīng)檢驗k=±1時，A、B、C、D四點各異，且滿足要求

故直線l存在，且方程為y=±x+1

【解析】（1）設 ，直線AB： ，從而得到過A，B，M的圓是以AB為直徑的圓，由此結合已知條件能求出圓的方程．（2）設 ，由此利用韋達定理，結合已知條件能求出滿足條件的直線方程．