Question

【題目】已知函數f（x）＝lnx﹣ax+1（a∈R）．

（1）求f（x）的單調區(qū)間；

（2）設g（x）＝lnx，若對任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）當a≤0時，f（x）單調遞增區(qū)間是（0，+∞）；當a＞0時，f（x）單調遞增區(qū)間是（0，），單調遞減在區(qū)間是（，+∞）.（2）a．

【解析】

（1）函數求導得，然后分a≤0和a＞0兩種情況分類求解.

（2）根據對任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，等價于f（x）max＜g（x）max，然后分別求最大值求解即可.

（1），

當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

當a＞0時，在區(qū)間（0，）上，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

在區(qū)間（，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．

綜上：當a≤0時，f（x）單調遞增區(qū)間是（0，+∞），

當a＞0時，f（x）單調遞增區(qū)間是（0，），單調遞減在區(qū)間是（，+∞）.

（2），

在區(qū)間（1，3）上，g′（x）＞0，g（x）單調遞增，

在區(qū)間（3，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）單調遞減，

所以g（x）max＝g（3）＝ln3，

因為對任意的x1∈（0，+∞），存在x2∈（1，+∞），使得f（x1）＜g（x2）成立，

等價于f（x）max＜g（x）max，

由（1）知當a≤0時，f（x）無最值，

當a＞0時，f（x）max＝f（）＝﹣lna，

所以﹣lna＜ln3，

所以，

解得a．