【題目】已知四棱錐
中，底面
為直角梯形，
平面，且
，
，
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）若
與平面所成的角為
，求二面角
的余弦值.
【答案】（1）證明見解析（2）
【解析】
（1）證明：取
的中點
，連接
，
，
.根據平面幾何知識和線面垂直的判定可證得
平面
，再證得
，可證明平面
平面.
（2）由線面角的定義可得
為
與平面
所成的角，再以點
為坐標原點，分別以
，
，
所在直線為
，
，
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面
和平面
的法向量，由二面角的向量求解方法可求得二面角
的余弦值.
解：（1）證明：取的中點，連接，，.
∵
，∴
.
又∵
，
，∴四邊形
為正方形，則
.
∵
平面，
平面，∴
.
∵
，∴平面.
∵
，
，∴四邊形
為平行四邊形，∴，
∴
平面.又
平面，
∴平面平面.
（2）∵平面，∴為與平面所成的角，
即
，則
.
設
，則
，
，
.
以點為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則
，
，
，
，
.
∵
平面，∴平面的一個法向量
.
設平面的法向量
，∵
，
，
則
，取
，則
.
設二面角的平面角為
，∴
.
由圖可知二面角為銳角，故二面角的余弦值為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）＝|x﹣2|+|x+1|．
（1）解關于x的不等式f（x）≤5；
（2）若函數f（x）的最小值記為m，設a，b，c均為正實數，且a+4b+9c＝m，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續購買該險種的投保人稱為續保人，續保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下：
上年度出險次數 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
保費 | 0.85a | a | 1.25a | 1.5a | 1.75a | 2a |
隨機調查了該險種的200名續保人在一年內的出險情況，得到如下統計表：
出險次數 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | ≥5 |
頻數 | 60 | 50 | 30 | 30 | 20 | 10 |
(1)記A為事件：“一續保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；
(2)記B為事件：“一續保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”，求P(B)的估計值；
(3)求續保人本年度平均保費的估計值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱錐
中，四邊形
為矩形，
為等腰三角形，
，平面
平面，且
，
，
，
分別為
，
的中點.
（1）證明：
平面
；
（2）證明：平面
平面；
（3）求四棱錐的體積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某苗木基地常年供應多種規格的優質樹苗.為更好地銷售樹苗，建設生態文明家鄉和美好家園，基地積極主動地聯系了甲、乙、丙三家公司，假定基地得到公司甲、乙、丙的購買合同的概率分別
、
、
，且基地是否得到三家公司的購買合同是相互獨立的.
（1）若公司甲計劃與基地簽訂300棵銀杏實生苗的銷售合同，每棵銀杏實生苗的價格為90元，栽種后，每棵樹苗當年的成活率都為0.9，對當年沒有成活的樹苗，第二年需再補種1棵.現公司甲為苗木基地提供了兩種售后方案，
方案一：公司甲購買300棵銀杏樹苗后，基地需提供一年一次，共計兩年的補種服務，且每次補種人工及運輸費用平均為800元；
方案二：公司甲購買300棵銀杏樹苗后，基地一次性地多給公司甲60棵樹苗，后期的移栽培育工作由公司甲自行負責.
若基地首次運送方案一的300棵樹苗及方案二的360棵樹苗的運費及栽種費用合計都為1600元，試估算兩種方案下苗木基地的合同收益分別是多少？
（2）記
為該基地得到三家公司購買合同的個數，若
，求隨機變量的分布列與數學期望
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，
是邊長為2的正方形，
平面
，且
．
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）線段
上是否存在一點
，使二而角
等于45°？若存在，請找出點的位置；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖,橢圓
：
的左、右焦點分別為
，橢圓上一點
與兩焦點構成的三角形的周長為6,離心率為
，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點
的直線
交橢圓
于
兩點,問在
軸上是否存在定點,使得
為定值？證明你的結論.
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