Question

已知函數f(x)對于任意x,y∈R,總有f(x)+f(y)=f(x+y),且當x>0時,f(x)<0,f(1)=-.
(1)求證:f(x)在R上是減函數.
(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

Answer 1

(1)見解析  (2) 最大值為2,最小值為-2

(1)方法一:∵函數f(x)對于任意x,y∈R總有f(x)+f(y)=f(x+y),
∴令x=y=0,得f(0)=0.
再令y=-x,得f(-x)=-f(x).
在R上任取x₁>x₂,則x₁-x₂>0,
f(x₁)-f(x₂)=f(x₁)+f(-x₂)=f(x₁-x₂).
又∵x>0時,f(x)<0,而x₁-x₂>0,
∴f(x₁-x₂)<0,
即f(x₁)<f(x₂).
因此f(x)在R上是減函數.
方法二:設x₁>x₂,
則f(x₁)-f(x₂)
=f(x₁-x₂+x₂)-f(x₂)
=f(x₁-x₂)+f(x₂)-f(x₂)
=f(x₁-x₂).
又∵x>0時,f(x)<0,而x₁-x₂>0,
∴f(x₁-x₂)<0,
即f(x₁)<f(x₂),
∴f(x)在R上為減函數.
(2)∵f(x)在R上是減函數,
∴f(x)在[-3,3]上也是減函數,
∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分別為f(-3)與f(3).
而f(3)="3f(1)=-2,f" (-3)=-f(3)=2.
∴f(x)在[-3,3]上的最大值為2,最小值為-2.