Question

已知動點P到定點F（0，1）的距離等于點P到定直線l：y=-1的距離．點Q（0，-1）．
（Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點Q作軌跡C的切線，若切點A在第一象限，求切線m的方程；
（Ⅲ）過N（0，2）作傾斜角為60°的一條直線與C交于A、B兩點，求AB弦長．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義即可得出．
（2）利用導數的幾何意義可得切線的斜率，再利用點斜式即可得出；
（3）把直線AB 的方程與拋物線的方程聯立得到根與系數的關系，再利用弦長公式即可得出．

解答：解：（1）∴動點P到定點F（0，1）的距離等于點P到定直線l：y=-1的距離，
∴動點P的軌跡為拋物線，
設x²=2py，則

p

2

=1，解得p=2．
∴拋物線C的方程為x²=4y．
（2）設切點A(x0，

x 2 0

4

)（x₀＞0），
∵y′=

1

2

x，∴拋物線在切點A處的切線的斜率為

x0

2

．
因此所求的切線方程為y-

x 2 0

4

=

x0

2

(x-x0)，即y=

x0

2

x-

x 2 0

4

．
∵點Q（0，-1）在切線上，
∴-1=-

x 2 0

4

，又x₀＞0，解得x₀=2．
故所求切線方程為y=x-1．                    
（3）直線AB的方程為y=

3

x+2．
聯立

x2=4y y= 3 x+2

得：x2-4

3

x-8=0，
∴x1+x2=4

3

，x₁x₂=-8．
∴|AB|=

[1+( 3 )2][(x1+x2)2-4x1x2]

=

4[(4 3 )2-4×(-8)]

=8

5

．

點評：本題考查了拋物線的定義、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、弦長公式、導數的幾何意義、點斜式等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．