Question

已知動點P到定點F(

2

，0)的距離與點P到定直線l：x=2

2

的距離之比為

2

2

．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設M、N是直線l上的兩個點，點E與點F關于原點O對稱，若

EM

•

FN

=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）先設點P坐標，再根據定點F(

2

，0)的距離與點P到定直線l：x=2

2

的距離之比為

2

2

求得方程．
（2））先由點E與點F關于原點O對稱，求得E的坐標，再根據直線l的方程設M、N坐標，然后由

EM

•

FN

=0，即6+y₁y₂=0．構建|MN|=y1-y2=y1+

6

y1

，再利用基本不等式求得最小值．

解答：解：（1）設點P（x，y），
依題意，有

(x- 2 )2+y2

|x-2 2 |

=

2

2

．
整理，得

x2

4

+

y2

2

=1．
所以動點P的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）∵點E與點F關于原點O對稱，
∴點E的坐標為(-

2

，0)．
∵M、N是直線l上的兩個點，
∴可設M(2

2

，y1)，N(2

2

，y2)（不妨設y₁＞y₂）．
∵

EM

•

FN

=0，
∴(3

2

，y1)•(

2

，y2)=0．
即6+y₁y₂=0．即y2=-

6

y1

．
由于y₁＞y₂，則y₁＞0，y₂＜0．
∴|MN|=y1-y2=y1+

6

y1

≥2

y1• 6 y1

=2

6

．
當且僅當y1=

6

，y2=-

6

時，等號成立．
故|MN|的最小值為2

6

．

點評：本小題主要考查橢圓、基本不等式等知識，考查數形結合、化歸與轉化、函數與方程的數學思想方法，以及推理論證能力和運算求解能力