Question

已知命題p：點A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1外，若命題p是假命題，則z=x+y的最小值為

2

．

Answer 1

分析：由命題p：點A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1外，且命題p是假命題，知點A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1內(nèi)或點A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1上，由此利用線性規(guī)劃能求出z=x+y的最小值．

解答：解：∵命題p：點A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1外，
且命題p是假命題，
∴點A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1內(nèi)或點A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1上，
如圖，

斜率為-1的切線m，n與圓有兩個切點，其中m與圓的切點使得z取最小值，
n與圓的切點使得z取最大值，
∵O（0，0）與圓心（1，1）的斜率為k=1，
∴m，n與圓的切點分別是O（0，0）與圓心（1，1）的連線y=x與圓（x-1）²+（y-1）²=1的兩個交點，
解方程組

y=x (x-1)2+(y-1)2=1

，得（1-

2

2

，1-

2

2

），（1+

2

2

，1+

2

2

）
∴在點（1-

2

2

，1-

2

2

）處，z=x+y取最小值2．
故答案為：2．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意線性規(guī)劃的合理運用．