Question

已知命題p：點(diǎn)A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1外，若命題p是假命題，則z=x+y的最小值為________．

Answer 1

2
分析：由命題p：點(diǎn)A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1外，且命題p是假命題，知點(diǎn)A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1內(nèi)或點(diǎn)A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1上，由此利用線性規(guī)劃能求出z=x+y的最小值．
解答：∵命題p：點(diǎn)A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1外，
且命題p是假命題，
∴點(diǎn)A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1內(nèi)或點(diǎn)A（x，y）在圓（x-1）²+（y-1）²=1上，
如圖，

斜率為-1的切線m，n與圓有兩個(gè)切點(diǎn)，其中m與圓的切點(diǎn)使得z取最小值，
n與圓的切點(diǎn)使得z取最大值，
∵O（0，0）與圓心（1，1）的斜率為k=1，
∴m，n與圓的切點(diǎn)分別是O（0，0）與圓心（1，1）的連線y=x與圓（x-1）²+（y-1）²=1的兩個(gè)交點(diǎn)，
解方程組，得（1-，1-），（1+，1+）
∴在點(diǎn)（1-，1-）處，z=x+y取最小值2．
故答案為：2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意線性規(guī)劃的合理運(yùn)用．