Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（1）設b_n=a_n+1-2a_n，證明數列{b_n}是等比數列；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知b₁=a₂-2a₁=3．由S_n+1=4a_n+2和S_n=4a_n-1+2相減得a_n+1=4a_n-4a_n-1，即a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），所以b_n=2b_n-1，由此可知{b_n}是以b₁=3為首項、以2為公比的等比數列．
（2）由題設知

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

．所以數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列．由此能求出數列{a_n}的通項公式．

解答：解：（1）由a₁=1，及S_n+1=4a_n+2，
得a₁+a₂=4a₁+2，a₂=3a₁+2=5，所以b₁=a₂-2a₁=3．
由S_n+1=4a_n+2，①
則當n≥2時，有S_n=4a_n-1+2，②
①-②得a_n+1=4a_n-4a_n-1，所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1，所以{b_n}是以b₁=3為首項、以2為公比的等比數列．（6分）
（2）由（I）可得b_n=a_n+1-2a_n=3•2^n-1，等式兩邊同時除以2ⁿ⁺¹，得

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

．
所以數列{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

3

4

的等差數列．
所以

an

2n

=

1

2

+(n-1)

3

4

=

3

4

n-

1

4

，即a_n=（3n-1）•2^n-2（n∈N^*）．（13分）

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要掌握等比數列的證明方法，會求數列的通項公式．