Question

某公司是一家專做產品A的銷售企業，第一批產品A上市銷售后40天內全部售完．該公司對第一批產品A上市后的市場銷售情況進行了跟蹤調查，發現：市場的每天銷售量（單位：百件）與上市時間f（單位：天）的關系是一條折線（如圖①），每件產品A的銷售利潤（單位：元/件）與上市時間t（單位：天）的關系也是一條折線（如圖②）．

（Ⅰ）寫出市場每天的銷售量f（x）與產品A上市時間t的關系式（不需求解過程）；
（11）第一批產品A上市后的哪幾天，這家公司的日銷售利潤超過3 000（百元）？

Answer 1

分析：（Ⅰ）市場日銷售量y與上市時間t，每件銷售利潤p與上市時間t這兩個函數都為分段函數，當t≤30時，設一次函數為y=kt，將點（30，60）代入可將此函數關系式表示出來；當30＜t≤40時，設一次函數為y=k₁t+b，將點（30，60），（40，0）代入進行求解，可將日銷售量與上市時間t的關系式寫出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，日銷售量與上市時間t的關系式，同理可求出銷售利潤與上市時間t的函數關系式；

解答：解：（Ⅰ）由圖①可得，
當0≤t≤30時，設市場的日銷售量y=kt，
∵點（30，60）在圖象上，∴60=30k，
∴k=2，即y=2t；
當30＜t≤40時，設市場的日銷售量y=k₁t+b，
∵點（30，60）和（40，0）在圖象上，
∴60=30k₁+b且0=40k₁+b，
解得k₁=-6，b=240．
∴y=-6t+240．
綜上可知，日銷售量與上市時間t的關系式為f(t)=

2t                  0≤t≤30 -6t+240    30＜t≤40

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(t)=

2t                  0≤t≤30 -6t+240    30＜t≤40

，
由圖②可得：每件產品的日銷售利潤為g(t)=

3t      0≤t≤20 60    20＜t≤40

，
則這家公司的日銷售利潤L（t）=f（t）•g(t)=

6t2                  0≤t≤20 120t                  20＜t≤30 -360t+14400    30＜t≤40

當0≤t≤20時，L（t）=6t²，此時利潤的最大值是L（20）=2400＜3000；
當20＜t≤30時，L（t）=120t，令120t＞3000，解得：25＜t≤30；
當30＜t≤40時，L（t）=-360t+14400，令-360t+14400＞3000，解得：30＜t＜

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3

；
故第一批產品A上市后的第26，27，28，29，30，31天，這家公司的日銷售利潤超過3 000（百元）
答：（Ⅰ）日銷售量與上市時間t的關系式為f(t)=

2t                  0≤t≤30 -6t+240    30＜t≤40

．
（Ⅱ）第一批產品A上市后的第26，27，28，29，30，31天，這家公司的日銷售利潤超過3 000（百元）

點評：本題考查了函數的圖象與性質，難度不大，注意所求函數是分段函數，要分段討論．