Question

已知復數z滿足|z|=

2

，z²的虛部為2，
（1）求復數z及復數z對應的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內所成角．
（2）設z、z²、z-z²在復平面內的對應點分別為A、B、C，求△ABC的面積．

Answer 1

（1）令z=x+yi∴

x2+y2=2 2xy=2

∴

x=1 y=1

或

x=-1 y=-1

∴z=1+i，或z=-1-i
當z=1+i時，復數z對應的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內所成角θ=45°，
當z=-1-i時，復數z對應的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內所成角θ=225°
故復數z對應的向量

OZ

與x軸正方向在[0，2π）內所成角為45°或225°．
（2）當z=1+i時，z²=2i，z-z²=1-i，z、z²、z-z²在復平面內的對應點分別為A（1，1）、B（0，2）、C（1，-1），
故|AC|=2，點B到直線AC的距離是1，所以S_△ABC=1，
同理當z=-1-i時，S_△ABC=1，
∴S_△ABC=1