Question

設直線y=x+2與拋物線y=ax²（a＞0）相交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交拋物線于點N．
（Ⅰ）證明：拋物線在N點處的切線與AB平行；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得NA⊥NB？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將直線的方程y=x+2代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用導數的幾何意義即可求得切線的斜率，從而解決問題拋物線在N點處的切線與AB平行的問題；
（Ⅱ）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在實數a，使得NA⊥NB，再利用M是線段AB的中點及AB的長，列出方程求出a值，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（Ⅰ）由得ax²-x-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
由y′=（ax²）′=2ax知，拋物線在N點處的切線的斜率為，
因此，拋物線在點N處的切線與直線AB平行．
（Ⅱ）假設存在實數a，使NA⊥NB．
由M是線段AB的中點，∴．
由MN⊥x軸，知，
又，，解得或（舍去）．
存在實數，使得NA⊥NB．
點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、直線與圓錐曲線的綜合問題等知識；需要注意的是（2）題中存在性問題的證明方法，即對于存在性問題，可先假設存在，求出參數，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．